Análisis en tiempo continuo
La herramienta fundamental para describir los cambios de una variable
en el dominio del tiempo continuo es la derivada, por lo tanto, el
modelo matemático básico para los sistemas de tiempo continuo es la ecuación diferencial del sistema (E.D.S.).
Esta ecuación relaciona la entrada del sistema, u(t), con la salida,
y(t). En el caso de modelos linealizados, refiere a la entrada
incremenental Delta u(t) y salida incremental Delta y(t).
Ecuación Diferencial del Sistema (E.D.S.)
La forma general de la E.D.S., para un sistema lineal e invariante en el tiempo, es:
La solución de esta ecuación debe cumplir además con las restricciones
que imponen las condiciones iniciales (estado inicial).
En algunos casos, conviene usar una notación compacta tipo de operador,
para denotar la operación derivada. Con este propósito, introducimos el
operador de Heaviside, definido por:
Usando este operador, el modelo general se puede escribir como:
Respuesta del Sistema
La solución de la E.D.S. condensa aspectos fundamentales del comportamiento temporal del sistema.Componentes Homogénea y Particular
Una primera forma de estudiar la respuesta del sistema es descomponerla de modo que se pueda identificar aquella parte que captura la naturaleza del sistema, componente natural u homogénea, y la otra, que captura la naturaleza específica de la excitación, componente particular o forzada.
La componente homogénea asociada, yh(t), satisface la ecuación diferencial homogénea asociada, es decir:
Esta ecuación tiene un número infinito de soluciones, que dependen de las condiciones iniciales.
La componente particular, yp(t), es una función específica del tiempo, independiente de las condiciones iniciales, que satisaface la ecuación.
La solución completa y(t) = yh(t) + yp(t) queda totalmente determinada al usar las condiciones iniciales, aplicadas a la respuesta completa, y(t), para calcular las constantes generadas en yh(t).
La resolución de esta ecuación se puede efectuar considerando:
La Respuesta Homogénea: yh(t) es la tendencia del comportamiento del sistema cuando "no tiene" exitación externa, fisicamente un sistema se comporta según su característica homogenea o natural, cuando didipa cierta energía acumulada en un estado anterior.
La Respuesta Particular: rp(t) es la respuesta forzada por la exitación.
Frecuencias y modos naturales
La componente natural u homogénea, yh(t), depende sólo de la ecuación característica asociada, dada por:λn + an-1 + λn-1 + ....... + a1λ + a0 = 0
Si las soluciones de la ecuación son λ1, λ2, .......λn, con multiplicidad n1, n2,.......np respectivamente, tal que n1 + n2 +......+ np = n, entonces la forma general de yh(t) es:
Donde los Cki son constantes arbitrarias (constantes indeterminadas) que generan los grados de libertad necesarios para que la respuesta completa satisfaga las condiciones iniciales.
Los valores de λ que satisfacen λn + an-1 + λn-1 + ....... + a1λ + a0
= 0 son conocidos como autovalores, valores propios, vaores
característicos o frecuencias naturales del sistema. Dados que los
coeficientes son reales, todos los valores caracteristicos son reales, o
bien aparecen en pares complejos conjugados.
A su vez, cada una de las funciones temporales, asociadas a λk, de la forma:
que aparecen en
se denominan Modos Naturales del Sistema
Estabilidad
En un sistema lineal estable, si todas las variables (señales) del sistema permanecen acotadas ante cualquier exitación acotada y para cualquier estado inicial acotado.Un modelo lineal e invariante en el tiempo es estable asintóticamente, si y solo si, todas sus frecuencias naturales tienen parte real estrictamente menor que cero. Si una o más de las frecuencias naturales del modelo tienen parte real mayor o igual a cero, diremos que es inestable asintóticamente.
Definimos, en consecuencia, la región de estabilidad asintótica en el plano complejo, para sistemas continuos en el tiempo, como el semiplano izquierdo (S.P.I.) abierto, es decir excluyendo el eje imaginario.
Respuesta a estado inicial y a entrada
Una forma alternativa de descomponer la respuesta de un sistema es considerar por separado la componente de la respuesta debido a las condiciones inciales o estado inicial, yx(t), y la componente debido a la entrada, yu(t), es decir:
y(t) = T <xo, u(t)> = T <xo, 0> + T <0, u(t)>
\ / \ /
yx(t) yu(t)
Donde T <0, u(t)> = T <0, 0> + T <0, u(t)>
\ / \ /
yx(t) yu(t)
---------------------
Por lo tanto y(t) = yh(t) + yp(t) = yx(t) + yu(t) = yx(t) + yuh(t) + yup(t)
---------------------Las dos descomposiciones de la respuesta del sistema obtenidas permiten observar dicha respuesta desde dos perspectivas diferentes:
a) En la descomposición homogénea - componente particular, se observa la estructura de la respuesta. En efecto, en esa partición queda en evidencia la presencia de dos tipos de modos: modos naturales (incluidos en la componente homogénea) y modos forzados (incluidos en la componente particular).
b) En la descomposición respuesta a estado incial - respuesta a entrada, se separan los efectos de las dos causantes de que el sistema tenga una respuesta "no nula": las condiciones iniciales y las excitaciones o entradas aplicadas.
Respuesta a señales de prueba
Una forma de estudiar, y comparar en forma estandarizada, el comportamiento de un sistemaa es determinar su respuesta para excitaciones de prueba. Entre esas señales de prueba se consideran usualmente: el escalón unitario, el impulso unitario y la señal sinusoidal.Respuesta a escalón unitario
Considerar la ecuación:
usando las propiedades de linealidad.
Respuesta a impulso unitario
Considerando la ecuación:
Entonces
la respuesta a un impulso unitario δ(t), y condiciones iniciales
iguales a cero, se puede obtener a partir de la respuesta a escalón
unitario.
Tenemos que:
 |
| Efecto de la invariancia en el tiempo |
Por lo tanto, usando linealidad:
Entonces, h(t) es la respuesta del sistema a un impulso unitario con condiciones iniciales iguales a cero.
Sistemas de Primer Orden
K : ganancia estática o en régimen permanente
T : constante de tiempo
**********************************************************************************
Respuesta impulsional: X(s) = 1
Respuesta a un escalón: X(s) = 1 / s
Respuesta a una rampa: X(s) = 1 / s2
Aplicaciones
* Respuesta a un escalón: X(s) = 1 / s
Nota: Si el cero está proximo al origen el factor [K*Tn / T]
a) Tn > T
b) T >Tn > 0
c) Tn < 0
Sistemas de Segundo Orden
La raíces del polinomio (polos del sistema) son:
Estabilidad según sus raíces
**Respuesta Impulsional **
a) Si ξ > 1: sistema sobreamortiguado
b) Si ξ = 1: sistema críticamente amortiguado
c) Si 0 < ξ < 1: sistema subamortiguado
d) Si ξ = 0: sistema sin amortiguamiento
**Respuesta a un escalón **
a) Si ξ > 1: sistema sobreamortiguado
b) Si ξ = 1: sistema críticamente amortiguado
c) Si 0 < ξ < 1: sistema subamortiguado
d) Si ξ = 0: sistema sin amortiguamiento
Oscilación de la amortiguación y su caracteristica
Gentileza:
a) Si ξ > 1: sistema sobreamortiguado
b) Si ξ = 1: sistema críticamente amortiguado
c) Si 0 < ξ < 1: sistema subamortiguado
d) Si ξ = 0: sistema sin amortiguamiento
**Respuesta a un escalón **
a) Si ξ > 1: sistema sobreamortiguado
b) Si ξ = 1: sistema críticamente amortiguado
c) Si 0 < ξ < 1: sistema subamortiguado
d) Si ξ = 0: sistema sin amortiguamiento
Oscilación de la amortiguación y su caracteristica
Gentileza:
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