Estimados.
sitio en construcción ω→∞ λn
La respuesta en frecuencia de un sistema lineal, así como su función de transferencia obtenidas con las transformadas vistas anteriormente son herramientas útiles para el análisis, síntesis y diseño de sistemas dinámicos.
Una de las formas más usuales para la representación se basa en gráficos separados de la magnitud y fase de H(jω), en donde las frecuencia, ω, es la variable independiente. Se denomina Diagarma de Bode (s=jω)
Es posible representar H(jω) en un único gráfico donde el eje de las abscisas corresponde a su parte real, y el eje de las ordenadas, a su parte imaginaria se denomina Diagrama Polar o de Nyquist
Unidades
Escalas
Los diagramas se dibujan con ejes especiales:
a) El eje de las abscisas es lineal en log10(ω), o logaritmo en ω.
La unidad es la "decada", que corresponde al rango entre ω1 y su multiplo 10ω1. Una unidad lternativa es la "octava", que corresponde al rango entre ω1 y 2ω1.
b) La magnitud H(jω) se mide en "decibles" [dB], es decir, se representa la función:
|H(jω)|dB = 20 log10|H(jω)|
c) El ángulo se mide en una escala lineal en radianes o grados.
Para aprender a dibujar estos diagramas consideremos una función de transferencia que puede expresarse como un producto de funciones particulares, que llamaremos "factores canónicos", correspondiente a los siguientes tipos o clases:
[B1] K
Magnitud
Fase
[B2] (1+jωT)q , q ϵ{-1;1}
Magnitud
Fase
[B3] (jω)q , q ϵ{-1;1}
Magnitud
Fase
Magnitud
Fase
Magnitud = 0
Fase
Donde q describe las dos opciones para cada factor:
sitio en construcción ω→∞ λnRepresentación gráfica de sistemas lineales
Introducción
La respuesta en frecuencia de un sistema lineal, así como su función de transferencia obtenidas con las transformadas vistas anteriormente son herramientas útiles para el análisis, síntesis y diseño de sistemas dinámicos.
Una de las formas más usuales para la representación se basa en gráficos separados de la magnitud y fase de H(jω), en donde las frecuencia, ω, es la variable independiente. Se denomina Diagarma de Bode (s=jω)
Es posible representar H(jω) en un único gráfico donde el eje de las abscisas corresponde a su parte real, y el eje de las ordenadas, a su parte imaginaria se denomina Diagrama Polar o de Nyquist
Diagrama de Bode
Unidades
Escalas
Los diagramas se dibujan con ejes especiales:
a) El eje de las abscisas es lineal en log10(ω), o logaritmo en ω.
La unidad es la "decada", que corresponde al rango entre ω1 y su multiplo 10ω1. Una unidad lternativa es la "octava", que corresponde al rango entre ω1 y 2ω1.
b) La magnitud H(jω) se mide en "decibles" [dB], es decir, se representa la función:
|H(jω)|dB = 20 log10|H(jω)|
c) El ángulo se mide en una escala lineal en radianes o grados.
Para aprender a dibujar estos diagramas consideremos una función de transferencia que puede expresarse como un producto de funciones particulares, que llamaremos "factores canónicos", correspondiente a los siguientes tipos o clases:
[B1] K
Magnitud
Fase
[B2] (1+jωT)q , q ϵ{-1;1}
Magnitud
Fase
[B3] (jω)q , q ϵ{-1;1}
Magnitud
Fase
[B4] [1+2ξ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]q, q ϵ{-1;1}, 0 ≤ ξ < 1
Magnitud
Fase
[B5] e-jωƮ, Ʈ > 0
Magnitud = 0
Fase
Su presencia en el numerador o en el denominador de la función H(jω).
Veamos un ejemplo de descomposición en "factores canónicos".
Considerar la función:
H(jω) = 6e-0,1jω (jω + 2)
jω (jω + 1) ((jω)2 + jω + 4)
Entonces puede escribirse como:
H(jω) = 3(e-0,1jω) (1 + 0,5jω)
Así, en el caso general
n
H(jω) = Π Fl(jω)
e=1
Donde cada uno de los factores elementales, Fl(jω), es una función perteneciente a alguno de los tipos [B1] a [B5].
Entonces:
n n
n
/H(jω) = Σ /Fl(jω)
l =1
En consecuencia, para poder construir aproximaciones para una función de transferencia arbitraria, es suficiente desarrollar aproximaciones para cada uno de los factores canónicos, [B1] a [B5].
A continucación veamos como se aproximan estos factores.
Caso [B1]
F(jω) = K
|F(jω)|db = |K|db = 20log10 |K| es una recta horizontal
┌
| 0 K ≥ 0
/F(jω) = /K = | es una recta horizontal
└
Procedimiento para construit un diagrama de Bode aproximado:
Paso 1: Escriba la función de transferencia, H(jω), como productos de factores [B1}-[B5].
Paso 2: Seleccione el rango de frecuencia en el cual desea construir la aproximación asintótica.
Paso 3: Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asintótas así como la pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre consecutivos. Tome en inmediata consideración los factores repetidos..
Paso 4: En el diagrama de magnitud, dibuje la asíntota del factor (jω)2. Notar que esta asíntota pasa por 0 [dB] en ω=1.
Paso 5: Avance en el eje de frecuancias hasta encontrar el primer punto de quiebre y sume la pendiente correspondiente.
Paso 6: Proceda hasta el siguiente punto de quiebre y suma la nueva pendiente que aparece a la pendiente acumulada. Repita hasta llegar al final del rango de frecuencias elegido.
Paso 7: Desplace verticalmente el diagrama de magnitud en 20log10 |K|. Una forma equivalente para esta operación, es renumerar el eje de ordenadas.
Paso 8: Si H(jω) incluye un factor (jω)l, es decir, un factor tipo [B3], desplace verticalmente el diagrama de fase en 90*l[°]. Además, si K > 0, desplace verticalmente el diagrama de fase en + 180[°].
Paso 9: Si H(jω) incluye un retardo, sustraiga la fase correspondiente del diagrama de fase.
Paso 10: Verifique que su resultado satisface las aproximaciones asintóticas, tanto en magnitud como en fase, para frecuencias muy bajas (→0) y para frecuancias muy altas (→∞).
..... continuara y lo estoy haciendo bien detallado....
Gentileza:
Entonces puede escribirse como:
H(jω) = 3(e-0,1jω) (1 + 0,5jω)
(jω) (1 + jω) (1 + 2*0,25(jω/2) + (jω/2)2)
H(jω) = 3((e-0,1jω)(1 + 0,5jω)(jω)-1(1 + jω)-1(1 + 2*0,5(jω/2) + (jω/2)2)-1
H(jω) = 3((e-0,1jω)(1 + 0,5jω)(jω)-1(1 + jω)-1(1 + 2*0,5(jω/2) + (jω/2)2)-1
Así, en el caso general
n
H(jω) = Π Fl(jω)
e=1
Entonces:
n n
|H(jω)|db = 20log10|H(jω)| = Σ 20log10 |Fl(jω)| = Σ |Fl(jω)|db
l =1 l =1n
/H(jω) = Σ /Fl(jω)
l =1
En consecuencia, para poder construir aproximaciones para una función de transferencia arbitraria, es suficiente desarrollar aproximaciones para cada uno de los factores canónicos, [B1] a [B5].
A continucación veamos como se aproximan estos factores.
Caso [B1]
F(jω) = K
|F(jω)|db = |K|db = 20log10 |K| es una recta horizontal
┌
| 0 K ≥ 0
/F(jω) = /K = | es una recta horizontal
| 180o K < 0
└
Procedimiento para construit un diagrama de Bode aproximado:
Paso 1: Escriba la función de transferencia, H(jω), como productos de factores [B1}-[B5].
Paso 2: Seleccione el rango de frecuencia en el cual desea construir la aproximación asintótica.
Paso 3: Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asintótas así como la pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre consecutivos. Tome en inmediata consideración los factores repetidos..
Paso 4: En el diagrama de magnitud, dibuje la asíntota del factor (jω)2. Notar que esta asíntota pasa por 0 [dB] en ω=1.
Paso 5: Avance en el eje de frecuancias hasta encontrar el primer punto de quiebre y sume la pendiente correspondiente.
Paso 6: Proceda hasta el siguiente punto de quiebre y suma la nueva pendiente que aparece a la pendiente acumulada. Repita hasta llegar al final del rango de frecuencias elegido.
Paso 7: Desplace verticalmente el diagrama de magnitud en 20log10 |K|. Una forma equivalente para esta operación, es renumerar el eje de ordenadas.
Paso 8: Si H(jω) incluye un factor (jω)l, es decir, un factor tipo [B3], desplace verticalmente el diagrama de fase en 90*l[°]. Además, si K > 0, desplace verticalmente el diagrama de fase en + 180[°].
Paso 9: Si H(jω) incluye un retardo, sustraiga la fase correspondiente del diagrama de fase.
Paso 10: Verifique que su resultado satisface las aproximaciones asintóticas, tanto en magnitud como en fase, para frecuencias muy bajas (→0) y para frecuancias muy altas (→∞).
..... continuara y lo estoy haciendo bien detallado....
Gentileza:
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